مسافت و جابه جایی چه کمیت هایی در حرکت شناسی هستند؟

حتما تا کنون دو کمیت مسافت و جابه جایی بار ها به گوش شما خورده است. آیا این دو کمیت یک کمیت هستند یا با یکدیگر متفاوت هستند؟

در فیزیک، دو کمیت مسافت و جابه جایی با یکدیگر تفاوت دارند و فقط در موارد خاصی با یکدیگر برابرند. در شکل زیر دو خط مشاهده می شود. خط چین مسیر حرکت است که طول آن مسافت طی شده توسط دونده و خط راست جابه جایی طی شده است. جابه جایی طول خط راستی است که نقطه شروع حرکت را به پایان حرکت متصل می کند. در شکل زیر مسافت و جابه جایی با یکدیگر برابر نیستند.

اما در شکل زیر اندازه این دو کمیت یکسان هستند. چون مسیر طی شده همان طول پاره خطی است که نقطه شروع را به نقطه پایان حرکت متصل کرده است.

جابه جایی یا تغییر مکان

جابه جایی یک متحرک بین دو لحظه ، برداری است که ابتدای آن مکان متحرک در لحظه ی شروع و انتهای آن مکان متحرک در لحظه ی پایانی می باشد .

در نمودار بالا مسیر حرکت در صفحه x-y با رنگ قرمز نشان داده شده است و بردار جابه جایی از نقطه A تا نقطه B رسم شده است. برای محاسبه بردار جابه جایی در دو بعد از رابطه زیر استفاده می شود:

البته مباحث بحث شده در کتاب فیزیک دوازدهم فقط در یک بعد می باشد و محاسبات در دو بعد در امتحانات و کنکور مجاز نمی باشد. و ما فقط برای فهم بیشتر موضوع شکل و رابطه بالا را نشان دادیم. اما می توان مسائلی در دو بعد طرح کرد که با هندسه بتوان آن ها را حل کرد و نیازی به جبر دو بعدی نداشته باشد.

مسافت : طول تمام مسیر طی شده را مسافت می گویند .

مثال ۱ : متحرکی مطابق شکل ، مسیری را طی می کند . جابه جایی و مسافت را حساب کنید.

حل مثال ۱:

جابه جایی کمیتی برداری و مسافت کمیتی نرده ای است.

مثال ۲ : متحرکی با سرعت ثابت در یک مسیر دایره ای به شعاع ۱۰ متر حرکت می کند . جابه جایی و مسافت طی شده توسط این متحرک را در صورتی بدست آورید که :

الف ) متحرک یک دور کامل بزند و به نقطه اولیه بر گردد. ب) متحرک یک چهارم مسیر دایره را طی کرده باشد .

حل مثال ۲ : الف) چون متحرک یک دور کامل می زند بنابراین به نقطه اولیه بر می گردد و جابه جایی صورت نمی گیرد ولی مسافت طی شده برابر محیط دایره است.

ب ) مسافت برابر یک چهارم محیط دایره می شود.

بردار جابه جایی با رنگ قرمز در یک چهارم دور رسم شده است که برای محاسبه آن از فیثاغورث در مثلث قائم الزاویه با اضلاع قائمه به اندازه شعاع دایره ۱۰ متر استفاده شده است.

جابه جایی و مسافت در حرکت بر روی خط راست (یک بعد)

در حرکت بر روی خط راست، در صورتی که متحرک تغییر مسیر نداده باشد یعنی فقط در یک جهت حرکت کرده باشد ، این دو کمیت با هم برابرند . ولی در صورتی که متحرک در حرکتش تغییر جهت دهد ( مثلا ابتدا در جهت مثبت محور x حرکت کند و سپس در خلاف جهت مثبت محور x حرکت کند)، مسافت و جابه جایی با یکدیگر برابر نیستند. به طور مثال در شکل زیر جابه جایی کمتر از مسافت طی شده است.

جابه جایی در حرکت بر روی خط راست از رابطه زیر بدست می آید :

Δx=x₂-x₁

که در آن x₁ فاصله شروع حرکت از مبدا مختصات و x₂ فاصله نقطه پایانی حرکت از مبدا مختصات است.

مثال ۳ : مطابق شکل بالا شخصی در جهت مثبت محور x ، ۵ متر حرکت کرده و سپس ۲ متر به سمت عقب بر می گردد. جابه جایی و مسافت شخص را حساب کنید.

حل مثال ۳ : فرض می کنیم شروع حرکت از مبدا مختصات باشد یعنی x=0

با توجه به مثال فوق می توان گفت مسافت طی شده فقط مقداری مثبت دارد ولی جابه جایی می تواند مقداری منفی نیز اختیار کند و جابه جایی منفی به این معناست که متحرک در خلاف جهت محور x جابه جا شده است.

نمودار حرکت بر روی خط راست ( حرکت در یک بعد)

برای توصیف حرکت در یک بعد می توان از نمودار مکان – زمان استفاده کرد که مکان جسم را در هر لحظه نشان می دهد. محور قائم این نمودار مکان جسم را نشان می دهد و محور افقی زمان را نشان می دهد. به شکل زیر توجه کنید:

می بینید که متحرک در ابتدای حرکت روی x=1m قرار دارد و پس از ۲ ثانیه به x=4m می رسد و بعد آن جهت حرکت ان عوض می شود و در لحظه t=4s به مکان x=-1m می رسد. که نمودار مکان- زمان ان در سمت راست رسم شده است. اینکه چه زمانی خط نمودار منحنی یا خط راست است به سرعت و شتاب متحر بستگی دارد که در مباحثی جدا مفصل توضیح می دهیم. حالا سوالی را طرح می کنیم که با استفاده از نمودار مکان- زمان حرکت یک بعدی، این دو کمیت را حساب کنیم. به مثال زیر توجه کنید.

مثال ۴ : نمودار زیر مربوط به حرکت یک متحرک است که روی خط راست حرکت می کند

الف) جابه جایی متحرک از زمان صفر تا ۳ ثانیه را حساب کنید.

ب) جابه جایی متحرک و مسافت طی شده توسط متحرک در بازه زمانی ۲ تا ۴ ثانیه را حساب کنید.

ج) جابه جایی متحرک و مسافت طی شده توسط متحرک در بازه زمانی صفر تا ۶ ثانیه را حساب کنید.

حل مثال ۴ : در این مثال از نمایش x(t) برای نشان دادن مکان متحرک در هر لحظه استفاده می کنیم.

مشاهده می کنید که محاسبه جابه جایی در یک بعد بسیار ساده تر از محاسبه مسافت است. در محاسبه مسافت باید به تغییر جهت متحرک توجه کرد. در مثال بالا متحرک در لحظه های ۱ و ۳ ثانیه تغییر جهت داده است.

ویدیو آموزشی

ویدیوی آموزشی آماده شده توسط استاد مصطفی کبیری را از این مبحث می توانید در زیر مشاهده کنید.

مشاهده در یوتیوب | مشاهده در آپارات

تمرین ها

با توجه به مطالب بالا به تمرین های زیر پاسخ دهید :

تمرین ۱: شخصی ابتدا ۱۵ متر به سمت شرق و سپس ۲۰ به سمت شمال حرکت می کند. بردار جابه جایی را رسم کرده و اندازه آن را حساب کنید. مسافت طی شده تو سط شخص چند متر است؟

تمرین ۲: اتومبیلی در یک مسیر دایره ای به شعاع ۲ متر حرکت می کند. کمیت جابه جایی و کمیت مسافت را برای این اتومبیل حساب کنید، در صورتی که :

الف) اتومبیل نیم دور بزند.

ب) اتومبیل به اندازه ۱۲۰ درجه دور دایره بزند.

تمرین ۳: با توجه به نمودار مکان-زمان زیر، جابه جایی در مدت ۲۰ ثانیه و همچنین مسافت طی شده متحرک را در مدت ۲۰ ثانیه بدست آورید.

تمرین ۴ : نمودار مکان- زمان متحرکی مطابق شکل زیر است.

الف) بیشترین فاصله از مبدا چقدر و در چه زمانی است؟

ب)جابه جایی متحرک بین لحظه ی ۱ تا ۲ ثانیه را با جابه جایی بین ۲ تا ۷ ثانیه مقایسه کنید.

ج) مسافت طی شده بین ۵ تا ۸ ثانیه را بدست آورید.

تمرین ۵: نمودار مکان – زمان متحرکی که بر روی خط راست حرکت می کندمطابق کل زیر است.

الف) متحرک در چه لحظه هایی از مبدا مختصات می گذرد؟

ب) در بازه ی زمانی صفر تا ۱۲ ثانیه جابه جایی و مسافت طی شده را حساب کنید.

 

---

---