انرژی نوسانگر در حرکت هماهنگ ساده

برای محاسبه انرژی نوسانگر در حرکت هماهنگ ساده، انرژی سامانه جرم- فنر را بررسی می کنیم. در سامانه جرم-فنر، وقتی فنری کشیده یا فشرده شود، انرژی پتانسیل کشسانی در آن ذخیره می شود. به صورتی که با افزایش جابجایی از نقطه تعادل، این انرژی افزایش می یابد. بنابر این انرژی پتانسیل سامانه جرم-فنر در نقاط بازگشتی  بیشینه و در نقطه تعادل (x=0) ، کمینه است.

با افزایش جابجایی از نقطه تعادل، سرعت کاهش می یابد و انرژی جنبشی کم می شود یعنی در نقاط بازگشتی، سرعت و انرژی جنبشی صفر می شوند. بیشینه سرعت و انرژی جنبشی در نقطه تعادل است.

انرژی مکانیکی نوسانگر

انرژی مکانیکی این سیستم برابر با مجموع انرژی پتانسیل و جنبشی آن است و چون سطوح بی اصطکاک هستند، انرژی مکانیکی پایسته است. بنابر این مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل در هر نقطه از مسیر برابر است یعنی با افزایش انرژی جنبشی، انرژی پتانسیل کاهش می یابد و برعکس. نمودار زیر تبدیل انرژی جنبشی به پتانسیل در سیستم جرم و فنر را نمایش می دهد:

انرژی مکانیکی سیستم جرم و فنر به صورت زیر است:

بنابر این انرژی مکانیکی حرکت هماهنگ ساده متناسب با مجذور دامنه A² و مجذور بسامد f² است.

تندی بیشینه نوسانگر در حرکت هماهنگ ساده

مثال ۱:

الف)نشان دهید تندی بیشینه در حرکت هماهنگ ساده برابر است با Aω.

ب)تندی نوسانگر هماهنگ ساده ای که با دامنه  10cm و دوره ۰٫۵۰s نوسان می کند، هنگام عبور از نقطه تعادل چقدر است؟

پاسخ:

الف) چون انرژی مکانیکی که برابر با مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل فنر است، همواره ثابت است و چون هر دو عبارت جنبشی و پتانسیل ،بزرگتر و یا برابر با صفر هستند، پس زمانی انرژی جنبشی و سرعت بیشینه می شود که انرژی پتانسیل فنر صفر شود یعنی زمانی که نوسانگر از نقطه تعادل عبور می کند بنابر این:

ب) در ابتدا رابطه بین تندی و مکان نوسانگر را به صورت زیر حساب می کنیم.

اگر چه می دانیم در نقطه تعادل تندی بیشینه است، اما اگر در رابطه بالا ، x=0 قرار دهیم هم به همان رابطه می رسیم.

مثال هایی از انرژی نوسانگر

مثال ۲:

دامنه نوسان وزنه ای که به یک فنر با ثابت فنر  75N/mمتصل است و در راستای افقی نوسان می کند، برابر با ۸cm  است. اگر انرژی پتانسیل این نوسانگر در نقطه ای از مسیر نوسان، ۸×۱۰^-۲J باشد، انرژی جنبشی آن در این مکان چقدر است؟

پاسخ:

انرژی مکانیکی نوسانگر برابر است با:

مثال ۳:

معادله حرکت هماهنگ ساده یک نوسانگر در SIبه صورت زیر است.

الف)در چه زمانی، پس از لحظه صفر، برای نخستین بار تندی نوسانگر به بیشترین مقدار خود می رسد؟

ب) در چه زمانی، پس از لحظه صفر، برای نخستین بار تندی نوسانگر به صفر می رسد؟

ج) تندی نوسانگر چقدر باشد تا انرژی جنبشی نوسانگر برابر با انرژی پتانسیل آن شود؟

پاسخ:

الف) در نقطه ی تعادل یعنی x=0 ، بیشینه سرعت اتفاق می افتد بنابر این:

ب) زمانی که سرعت نوسانگر صفر می شود، انرژی جنبشی نوسانگر صفر است. بنابر این انرژی پتانسیل بیشینه است . یعنی بیشترین فاصله از نقطه تعادل. بنابر این:

ج) انرژی جنبشی برابر با انرژی پتانسیل است یعنی:

مثال ۴:

جسمی به جرم ۱۰۰ گرم به فنری متصل است و روی سطح افقی بدون اصطکاک، حرکت هماهنگ ساده انجام می دهد. اگر بیشینه انرژی جنبشی جسم ۰٫۸ میلی ژول باشد، لحظه ای که انرژی پتانسیل جسم ۰٫۴ میلی ژول است، سرعت نوسانگر چند سانتی متر بر ثانیه است؟

پاسخ :

---

ویدیو آموزشی انرژی نوسانگر

به ویدیو آموزشی زیر در مورد این مبحث که توسط استاد مصطفی کبیری تهیه شده است، حتما توجه کنید.

مشاهده در یوتیوب | مشاهده در آپارات

---

تمرین ها

تمرین ۱:جسمی به جرم ۱kg به فنری افقی با ثابت ۶N/cm متصل است. فنر به اندازه ۹cm کشیده و سپس رها می شود و جسم روی سطح افقی شروع به نوسان می کند. با چشم پوشی از اصطکاک :

الف)دامنه نوسان و تندی بیشینه جسم چقدر است؟

ب)وقتی تندی جسم ۱٫۶m/s است، انرژی پتانسیل کشسانی آن چقدر است؟

تمرین ۲: نوسانگری به جرم ۱۰۰ گرم، روی پاره خطی به طول ۲۰cm حرکت هماهنگ ساده انجام می دهد و در مدت یک چهارم  ثانیه از مرکز نوسان به انتهای مسیر می رسد. انرژی جنبشی نوسانگر در مرکز نوسان، چند میلی ژول است؟ (π^۲=۱۰)

تمرین ۳: شکل روبرو نمودار مکان-زمان دو نوسانگر A و B را نشان می دهد. اگر جرم نوسانگر B ، پنج برابر جرم نوسانگر A باشد، انرژی مکانیکی نوسانگر  A چند برابر انرژی مکانیکی نوسانگر B است؟

تمرین ۴: نمودار انرژی پتانسیل کشسانی یک نوسانگر ساده مطابق شکل رو به رو است. در لحظه t=0.1s، انرژی جنبشی نوسانگر چند ژول است؟ (برای پایه دوازدهم مناسب نیست.)

تمرین ۵: نمودار انرژی پتانسیل-مکان نوسانگری به جرم ۴۰۰g مطابق شکل است. دوره حرکت نوسانگر چند ثانیه است؟ (π^۲=۱۰)

---

---