شاید تا به حال دیده باشید که وقتی یک طناب یا یک سیم را تکان می‌دهیم، ممکن است روی آن موجی ایجاد شود که فقط در آن مکان به طرف بالا و پایین نوسان کند، اما منتشر نشود. چنین موجی، موج ایستاده (Standing Wave) نامیده می‌شود. این امواج از برهم‌نهی دو موج رونده یا تعداد بیشتری از آن‌ها تشکیل می‌شوند.
تداخل امواج
وقتی چندین موج به طور همزمان بر ناحیه ای از فضا تاثیر بگذارند، اثر خالص آن ها برابر مجموع اثر های مجزای هر یک از آن هاست. به طوری که شکل و حرکت یکدیگر را تغییر نمی دهند. یعنی پس از همپوشانی بدون هر گونه تغییر شکلی به حرکت خود ادامه می دهند. به این، اصل برهم نهی امواج گفته می شود.
به ترکیب موج ها با یکدیگر تداخل می گویند. به بیان دیگر تداخل، ترکیب دو یا چند موج است که هم زمان از یک منطقه عبور می کنند. در شکل بالا، بخش الف، تپ ها هنگام همپوشانی تپ بزرگتری را ایجاد کرده اند که به آن تداخل سازنده می گویند. در حالی که در بخش ب، تپ ها هنگام همپوشانی اثر یکدیگر را حذف کرده اند که به آن تداخل ویرانگر می گویند.
موج ایستاده
اگر دو موج با دامنه و طول موج یکسان در خلاف جهت هم حرکت کنند، برایند آن‌ها شبیه موجی به نظر می‌رسد که در آن مکان متوقف شده است. از این رو، این موج را موج ایستاده می‌نامند. مشخصه بارز این موج برایند آن است که مکان هایی در طول ریسمان، موسوم به گره، وجود دارد که در آن ریسمان هرگز حرکت نمی کند. وسط گره های مجاور را شکم می گویند که دامنه موج برایند در آنجا بیشینه است.
در شکل زیر در زمان های مختلف شکل دو موجی که برهمکنش می کنند و برایند حاصل از آن ها را با رنگ قرمز مشاهده می کنید.
در تصویر متحرک زیر می توانید موج های رونده و برایند آن ها را به خوبی مشاهده کنید.
در شکل زیر می توانید گره ها و شکم ها را در یک موج ایستاده مشاهده کنید.
فاصله گره های مجاور از هم برابر نصف طول موج (λ/۲) و فاصله گره ها از شکم های مجاور برابر با ربع طول موج (λ/۴) است.
در گره ها وضعیت موج های تابیده و بازتابیده کاملا نا هم فازند ( در فاز مخالف اند) یعنی یکدیگر را ویران می کنند. در شکم ها وضعیت موج های تابیده و بازتابیده هم فاز هستند. یعنی یکدیگر را تقویت می کنند.
بسامد های تشدید در ریسمان کشیده
اگر دو سر یک تار را به تکیه گاه ببندیم (که تشکیل گره می دهند)، و در صورتی که در بسامد های خاصی نوسان هایی را در تار ایجاد کنیم، می توانیم موج ایستاده ایجاد کنیم. به این بسامد های معین، بسامد های تشدیدی می گویند.
در آزمایش ملد (Meld’s experiment) مشاهده می شود که در بسامد های تشدیدی تار، ساده ترین نقش موج ایستاده فقط یک شکم دارد که در مرکز ریسمان واقع است. حالات دیگر را در شکل زیر می توانید مشاهده کنید.
نکته: در بسامد هایی غیر از بسامد های تشدیدی، موج ایستاده بارزی تشکیل نمی شود.
با توجه به شکل بالا می توان رابطه بین طول موج و طول تار را به صورت زیر نوشت.
که n نشان دهنده شماره هماهنگ یا تعداد شکم است. و تعداد گره یکی بیشتر از تعداد شکم است.
بسامد های تشدیدی نیز از رابطه زیر بدست می آیند.
که در این رابطه v تندی انتشار تپ در تار است که برای هر تاری با ویژگی های فیزیکی خاص خودش، مقدار ثابتی دارد.
پایین ترین بسامد را که مربوط به n=1 است، بسامد اصلی و مد مربوط به آن را مد اصلی یا هماهنگ اول می گویند. به n عدد هماهنگ گفته می شود.
توجه: برای امتحان نهایی رسم شکل را نیز باید در هماهنگ های مختلف یاد بگیرید.
مثال ها
مثال ۱: طول یکی از تار های پیانویی ۱٫۱m و جرم آن ۹ گرم است. اگر بسامد اصلی این تار ۱۳۱ هرتز باشد، الف) تندی انتشار موج عرضی در تار چقدر است؟ ب) این تار تحت چه کششی قرار دارد؟ پ) بسامد های چهار هماهنگ نخست این تار چقدر است؟
مثال ۲: طول یک تار مرتعش با دو انتهای ثابت ۸۰cm بوده و در آن ۴ گره تشکیل شده است. اگر بسامد موج ایجاد شده در تار ۴۵۰ هرتز باشد، الف) تندی انتشار موج عرضی در تار را حساب کنید. ب) طول موج ایجاد شده در تار چقدر است؟
حل مثال ۲: چون تعداد گره ۴ تاست، پس تعداد شکم ۳ تا است یعنی عدد هماهنگ n=3 است.
ویدیو آموزشی
در این ویدیو آموزشی چگونگی تشکیل موج ایستاده و محاسبه بسامد هماهنگ های مختلف، توسط استاد مصطفی کبیری توضیح داده می شود.
مشاهده در یوتیوب | مشاهده در آپارات
نمونه هایی از موج ایستاده
با سفت کردن سیم گیتار می توانید صدایی با بسامد بیشتر بشنوید. چون با اینکار نیروی کشش افزایش می یابد. و در نتیجه تندی انتشار در تار زیاد می شود که طبق رابطه بسامد در بالا، بسامد با تندی تار رابطه مستقیم دارد پس بسامد افزایش پیدا می کند.
پس از مدتی نواختن روی تار های گیتار، افزایش دمای تار موجب انبساط طولی تار می شود. که موجب کاهش کشش و در نتیجه کاهش تندی می شود. به همین منظور قبل از اجرای اصلی ابتدا اندکی به صورت تمرینی می نوازند و سپس سیم های گیتار را مجددا کوک می کنند.
موج ایستاده را می توان در سطح آب نیز تولید کرد که شما می توانید در ویدیوی زیر آن را مشاهده کنید.
تمرین های موج ایستاده
تمرین ۱: در طنابی با دو انتهای ثابت، موج ایستاده ای با چهار گره ایجاد شده است. تندی انتشار موج در طناب ۲۴۰ متر بر ثانیه و فاصله دو گره متوالی ۱۰ سانتی متر است. الف) وضعیت نوسانی طناب را رسم کنید. ب) طول طناب چند سانتی متر است؟ پ) بسامد نوسان ها چقدر است؟
تمرین ۲: در یک تار مرتعش، موج ایستاده ایجاد شده است. اگر بسامد این موج ۴۰۰ هرتز و سرعت انتشار موج در تار ۱۶۰ متر بر ثانیه باشد، فاصله بین دو گره متوالی در این تار چند سانتی متر است؟
تمرین ۳: جرم یک سیم پیانو به طول ۴۰ سانتی متر برابر ۸ گرم و نیروی کشش آن ۲۸۸ نیوتون است. این سیم به گونه ای به نوسان در می آید که بسامد صوتی که ایجاد می شود، برابر ۴۵۰ هرتز باشد. تعداد گره ها را حساب کنید.
تمرین ۴: اختلاف بسامد دو هماهنگ متوالی یک تار مرتعش با دو انتهای ثابت، ۲۵۰ هرتز است. از این دو هماهنگ، آن که بسامد کمتری دارد، ۳ گره در طول تار ایجاد شده است. بسامد هماهنگ دیگر چند هرتز است؟
تمرین ۵: تارهای دو سر بسته A و B هم جنس هستند و قطر آن ها یکسان و طول A سه برابر طول B است. اگر در حالتی که ۵ گره در A و ۳ گره در B تشکیل می شود، بسامد ارتعاش تارها مساوی باشد، نیروی کشش تار A چند برابر نیروی کشش تار B است؟
دانلود جزوه مطالب بالا به همراه حل تمرین ها
