اصل ارشمیدس و نیروی شناوری

ارشمیدس دانشمند یونانی دوران باستان، نخستین کسی بود که پی برد به جسم های درون یک شاره یا غوطه ور در آن، همواره نیروی بالاسوی خالصی به نام نیروی شناوری از طرف شاره وارد می شود. که این اصل به اصل ارشمیدس معروف است.

داستان کشف بزرگ ارشمیدس

هیرو، پادشاه سیراکوز، زرگری را مأمور کرده بود تا برایش تاجی از طلای خالص بسازد. وقتی تاج تکمیل شد و به دست پادشاه رسید، تردید داشت که زرگر تمام طلا را به کار برده باشد. شاه هیرو دوست خود ارشمیدس را احضار کرد و از این ریاضیدان مشهور خواست تا بفهمد آیا واقعاً تاج از طلای خالص است و تمام فلز باارزشی که پادشاه به زرگر داده در آن به کار رفته است یا نه. در سدهٔ سوم پیش از میلاد، شیمی تحلیلی به اندازه ریاضیات پیشرفته نبود و ارشمیدس در ریاضیات و مهندسی توانایی بسیار داشت. ارشمیدس قبلاً برای محاسبه حجم جامدهایی که شکلی منظم مثل کُره یا استوانه داشتند دستورهای ریاضی ابداع کرده بود. او می‌دانست که اگر بتواند حجم تاج هیرو را تعیین کند، خواهد فهمید که آیا تاج از طلای خالص درست شده است یا از مخلوطی از طلا با فلزات دیگر. وقتی پا به خزینه گذاشت و دید که آب از آن سرریز کرد، متوجه شد که حجم آبی که بیرون ریخته است دقیقاً با حجم قسمتی از بدن او که وارد آب شده برابری می‌کند؛ بنابراین دریافت که اگر تاج را در ظرف آبی قرار دهد، حجم آبی که از ظرف سرزیر می‌شود یا در آن بالا می‌رود حجم تاج است. وی که بسیار هیجان‌زده شده بود برهنه از حمام بیرون دوید و فریاد زد یافتم! یافتم! او در آزمایش خود تشخیص داد که تاج شاهی میزان بیشتری آب را نسبت به شمش طلای هم‌وزنش پس می‌راند، ولی این میزان آب کمتر از میزان آبی است که شمش نقره هم‌وزن آن را جابه‌جا می‌کند. به این ترتیب ثابت شد که تاج شاهی از طلای ناب و خالص ساخته نشده، بلکه جواهرساز متقلب آن را از مخلوطی از طلا و نقره ساخته‌است و این‌گونه ارشمیدس یکی از چشمگیرترین رازهای طبیعت را کشف کرد؛ یعنی اینکه می‌توان حجم اجسام با شکل نامنظم را با کمک مقدار مایعی که جابه‌جا می‌کنند اندازه‌گیری کرد.

اصل ارشمیدس

اصل ارشمیدس را به طور تجربی با یک مثال می توان بررسی کرد.

شکل زیر یک جسم فلزی آویزان شده به یک نیروسنج را نشان می دهد که وزن آن ۱۰ نیوتون است. وقتی این جسم مطابق شکل ب به طور کامل درون آب قرار می گیرد، نیروسنج عدد ۶ نیوتون را نشان می دهد. در واقع این کاهش ۴ نیوتونی عددی که نیروسنج نشان می دهد، ناشی از نیروی شناوری است که از طرف شاره به جسم وارد شده است.

اگر مطابق شکل پ ظرف لبریز از آب باشد، با قرار دادن جسم در آن آبی به وزن ۴ نیوتون در ظرف دیگر می ریزد. با توجه به این مثال، اصل ارشمیدس را می توان به صورت زیر بیان کرد:

وقتی تمام یا قسمتی از یک جسم در شاره ای فرو رود، شاره نیرویی بالاسو بر آن وارد می کند که با وزن شاره جابه جا شده توسط جسم برابر است.

محاسبه نیروی شناوری

اگر مانند شکل زیر جسمی مکعبی شکل به ضلع L را در نظر بگیرید که درون شاره ساکنی با چگالی ρ  غوطه ور است.

نیروهای افقی وارد بر مکعب یکدیگر را خنثی می کنند در حالی که برای نیروهای عمودی با توجه بیشتر بودن فشار آب در سطح پایینی نسبت به بالایی داریم :

h₁ ارتفاع شاره از سطح آزاد مایع تا سطح بالایی جسم است و h₂ ارتفاع شاره از سطح آزاد تا سطح پایینی جسم است. که اختلاف این دو برابر L ضلع معکب است.

که در رابطه بالا F_b نیروی شناوری ارشمیدس می باشد که به سمت بالا به جسم وارد می شود. V حجم شاره ای است که جسم آن را جابه جا کرده است. در واقع حجم جسم غوطه ور، برابر حجم شاره جابه جا شده است.

پرسش های مفهومی از اصل ارشمیدس

پرسش ۱: در شکل روبرو، نیروی شناوری F_b و نیروی وزن W وارد بر چند جسم نشان داده شده است. با توجه به نیروی خالص وارد بر هر جسم، وضعیت آن را به کمک یکی از واژه های شناوری، غوطه وری، فرورفتن و بالارفتن توصیف کنید.

پاسخ پرسش ۱:

برای بادکنک داریم F_b>W بنابراین بادکنک بالا می رود.

برای قطعه چوب داریم F_b=W بنابراین قطه چوب روی آب شناور می ماند.

برای قطعه فلزی بزرگتر داریم F_b<W بنابراین قطعه پایین می رود و به کف ظرف می رسد.

برای قطعه فلزی کوچک داریم F_b=W بنابراین قطعه در آب غوطه ور می ماند.

 

پرسش ۲: شکل زیر ظرفی محتوی آب را نشان می دهد که روی یک ترازوی عقربه ای قرار دارد. شخصی انگشت خود را وارد آب می کند. توضیح دهید عقربه ترازو چه تغییری می کند.

پاسخ پرسش ۲: با فرو رفتن انگشت در آب، حجمی از آب جابه جا شده و به انگشت نیروی شناوری به سمت بالا وارد می شود. طبق قانون سوم نیوتون نیروی واکنش نیروی شناوری وارد بر دست به کف ترازو وارد می شود و موجب می شود ترازو عدد بیشتری را نشان دهد.

 

پرسش ۳: جرم قطعه های آهنی در شکل زیر با یکدیگر برابر است. دریافت خود را از این شکل بیان کنید.

پاسخ پرسش ۳: با تغییر شکل یک قطعه می توان حجم شاره جابه جا شده را افزایش داد. وقتی جسم به صورت مکعب است، حجم کمتری نسبت به حالت دیگر، از شاره را جابه جا می کند. بنابراین F_b<W و مکعب در شاره فرو می رود. و در حالت دیگر حجم شاره جابه جا شده بیشتر است و خواهیم داشت F_b=W یعنی جسم شناور می ماند.

 

پرسش ۴: یک قطعه چوبی را روی آب درون ظرفی قرار می دهیم. یک وزنه آهنی را یک بار روی چوب قرار می دهیم (شکل الف) و بار دیگر از زیر چوب آویزان می کنیم (شکل ب). در کدام حالت، چوب بیشتر فرو می رود؟

پاسخ پرسش ۴: در حالت الف قطعه چوب بیشتر فرو می رود.

نیروی وزن در دو حالت یکسان و برابر جمع وزن چوب و وزنه است. در حالت ب علاوه بر چوب، وزنه هم در آب فرو رفته پس به آن هم نیروی شناوری وارد می شود. در حالت الف نیروی وزن برابر نیروی شناوری وارد بر چوب است. در حالت ب نیروی وزن برابر جمع نیروی شناوری وارد بر چوب و وزنه است. در نتیجه نیروی شناوری وارد بر چوب (فقط چوب) در حالت دوم کمتر از حالت اول است. یعنی در حالت ب چوب شاره کمتری جابجا کرده یعنی کمتر در آب فرو رفته است.

 

پرسش ۵: در شکل زیر یک ظرف خالی و یک قطعه چوب روی آب شناورند و یک وزنه فلزی در کف ظرف آب قرار دارد.

الف) اگر چوب را از سطح آب برداشته و داخل ظرف قرار دهیم. فشار در کف ظرف آب چگونه تغییر می کند؟

ب)  اگر وزنه را از جایی که قرار دارد، برداریم و درون ظرف قرار دهیم و ظرف همچنان شناور بماند، فشار در کف ظرف آب چگونه تغییر می کند؟

پاسخ پرسش ۵: فشار وارد بر کف ظرف در این شکل به نیروی وزن آب، واکنش نیروی شناوری ظرف تو خالی، چوب و قطعه فلزی بستگی دارد. نیروی شناوری به سمت بالاست و واکنش آن به سمت پایین است. برای ظرف توخالی و قطعه چوب به دلیل شناوری، نیروی شناوری برابر وزن آن هاست. ولی برای قطعه فلزی چون به کف ظرف رسیده است، نیروی شناوری کمتر از نیروی وزن است.

الف) در این حالت وقتی چوب وارد ظرف شود، باز هم ظرف شناور می ماند یعنی نیروی شناوری برابر مجموع نیروی وزن ناشی از جرم ظرف و چوب است. در نتیجه واکنش نیروی شناوری مانند حالت اول تغییر نمی کند و فشار وارد بر کف ظرف ثابت می ماند.

ب) در این حالت وقتی قطعه فلزی در ظرف قرار می گیرد، روی آب شناور می ماند. یعنی نیروی شناوری وارد بر قطعه و ظرف توخالی برابر با وزن ظرف و قطعه می شود. در نتیجه در این حالت نیروی شناوری قطعه فلزی نسبت به حالت اول بیشتر شده است. (در حالت اولیه نیروی شناوری آن کمتر از نیروی وزن بود ولی حالا برابر شده است.) در نتیجه واکنش نیروی شناوری که به آب وارد می شود نسبت به حالت اول بیشتر شده است. پس فشار وارد بر کف ظرف افزایش می یابد.

 

ویدیو آموزشی

ویدیو آموزشی زیر که در آن نیروی شناوری و اصل ارشمیدس توضیح داده می شود، را مشاهده کنید. سه آزمایش مهم در این ویدیو توضیح داده می شود.

مشاهده در یوتیوب | مشاهده در آپارات

---

تمرین های مفهومی از اصل ارشمیدس

تمرین ۱: توضیح دهید چرا برخی از افراد می توانند روی آب دریاها و اقیانوس ها شناور بمانند (مطابق شکل زیر) ولی قادر نیستند روی دریاچه های آب تازه (دریاچه هایی که از آب باران تشکیل شده است)، شناور بمانند؟

تمرین ۲: دو بلوک چوبی با حجم برابر و چگالی های مختلف مطابق شکل زیر یکی شناور و دیگری غوطه ور است. کدام بلوک جرم بیشتری دارد؟ برای کدام بلوک نیروی شناورسازی بیشتر است ؟

تمرین ۳: توضیح دهید که زیردریایی ها چطور بالا می آیند، پایین می روند، و در عمق ثابت باقی می مانند.

تمرین ۴: آیا نیروی شناورساز وارد بر یک زیردریایی، که در زیر آب است، در همه اعماق یکسان است؟

تمرین ۵: توضیح دهید که چرا بالون فقط تا ارتفاع معینی بالا می رود؟

تمرین ۶: بشکه آبی از یک ترازوی فنری آویزان است. آیا اگر قطعه آهنی را که از تاری آویزان است در آب غوطه ور کنیم، وزنی که ترازو نشان می دهد تغییر میکند؟

 

---

---