بررسی حرکت جسم روی سطح شیبدار

بررسی حرکت جسم روی سطح شیبدار:

با توجه به اینکه حرکت جسم در راستای سطح شیبدار است، دستگاه محور های مختصات را طوری انتخاب می کنیم که راستای x دستگاه، در راستای شتاب باشد. با انتخاب این دستگاه محور مختصات، نیروی وزن وارد بر جسم در راستای افقی و قائم قرار نمی گیرد که برای این منظور نیروی وزن را روی محورهای مختصات تصویر می کنیم. که نتیجه مطابق شکل زیر می شود. و از این پس به جای نیروی وزن، نیروهای تجزیه شده آن را رسم می کنیم.

۱ ) جسم روی سطح شیبدار ساکن باشد.

در این حالت نیروی اصطکاک ایستایی مانع از حرکت جسم به سمت پایین سطح شیبدار می شود. نیروهای وارد بر جسم را در شکل زیر نشان دادیم.

تا قبل از اینکه جسم در آستانه حرکت (زمانی که نیروی اصطکاک ایستایی بیشینه شود) قرار گیرد، نیروی اصطکاک ایستایی برابر mg sinα است. یعنی:

و اگر جسم در آستانه حرکت قرار گیرد، نیروی اصطکاک ایستایی بیشینه از رابطه زیر بدست می آید:

و چون جسم همچنان ساکن است، خواهیم داشت:

که با قرار دادن رابطه ۳ در رابطه ۴ خواهین داشت:

از رابطه ۵ می توان برای محاسبه ضریب اصطکاک ایستایی بین جسم و سطح استفاده کرد.

۲ ) جسم را با سرعت اولیه v₀ روی سطح شیبدار به سمت بالا پرتاب می کنیم و جسم پس از طی مسافت d روی سطح شیبدار متوقف می شود.

نیروهای وارد بر جسم را مطابق شکل زیر رسم می کنیم:

نیروی اصطکاک جنبشی با توجه به رابطه ۲ از رابطه زیر بدست می آید:

در راستای محور x قانون دوم نیوتون را برای جسم به صورت زیر می نویسیم:

که با قرار دادن رابطه ۶ در رابطه ۷ ، شتاب حرکت جسم روی سطح شیبدار به سمت بالا بدست می آید:

با استفاده از معادله سرعت-زمان در حرکت با شتاب ثابت، می توانیم مدت زمان حرکت رو به بالای جسم تا توقف را از رابطه زیر بدست آورد:

با استفاده از معادله مستقل از زمان در حرکت با شتاب ثابت، می توانیم مسافت توقف جسم روی سطح شیبدار را بدست آوریم:

۳ ) جسم پس از توقف در بالای سطح شیبدار، همان مسیر را به سمت پایین سطح بر می گردد و با سرعت v به پایین سطح شیبدار می رسد.

ابتدا نیروهای وارد بر جسم را رسم می کنیم که در شکل زیر نشان داده شده است.

در راستای محور x قانون دوم نیوتون را برای جسم به صورت زیر می نویسیم:

که با قرار دادن رابطه ۶ در رابطه ۱۱ ، شتاب حرکت جسم روی سطح شیبدار به سمت پایین بدست می آید:

با استفاده از معادله سرعت-زمان در حرکت با شتاب ثابت، می توانیم مدت زمان حرکت رو به پایین جسم تا پایین سطح شیبدار را از رابطه زیر بدست آورد:

با استفاده از معادله مستقل از زمان در حرکت با شتاب ثابت و قرار دادن d از رابطه ۱۰ در آن به رابطه زیر می رسیم:

و با استفاده از روابط ۹ و ۱۳ و ۱۴ می توان رابطه زیر را اثبات کرد:

نکته: از رابطه ۱۴ می توان دریافت که v<v₀  است. به دلیل وجود اصطکاک بین جسم و سطح بخشی از انرژی جسم کاهش می یابد و موجب می شود سرعت جسم در حین برگشت به نقطه شروع کاهش یابد.

۴ ) در صورتی که از اصطکاک بین جسم و سطح چشم پوشی شود، کافیست در روابط بالا ضریب اصطکاک را برابر صفر قرار دهیم. مشاهده می شود در این حالت سرعت برگشت جسم به پایین سطح شیبدار با سرعت اولیه پرتاب به سمت بالا برابر است.

با استفاده از مفاهیم ذکر شده در فوق تمرین های زیر را حل کنید و پاسخ خود را با پاسخ ما مقایسه کنید، تا به تسلط کامل برسید.

تمرین ۱: در شکل جسم از A مماس بر سطح شیبدار رو به بالا پرتاب می‌شود، جسم به نقطه‌ای رسیده و برمی‌گردد، اگر اندازه شتاب در موقع رفت ۲ برابر شتاب برگشت باشد، µ_k را حساب کنید

تمرین ۲:  اگر µ_k=0.25 و جسم با سرعت m/s20 رو به بالا پرتاب شود، زمان رسیدن جسم به بالاترین نقطه مسیر چند ثانیه است؟

تمرین ۳: مطابق شکل جرم m را با سرعت v₀ روی سطح پرتاب می‌کنیم. جسم در نقطه A متوقف شده و برمی‌گردد. اگر سرعت آن در نقطه پرتاب m/s2 شود، طول OA چند متر است؟

تمرین ۴: در شکل روبه‌رو، وزنه را با سرعت اولیه‌ی v₀ از پایین سطح شیب‌دار، مماس بر سطح رو به بالا پرتاب می‌کنیم. وزنه تا ارتفاعی بالا رفته دوباره به نقطه‌ی پرتاب برمی‌گردد. اگر نیروی اصطکاک جنبشی برابر ۰٫۲ وزن جسم باشد، زمان بالا رفتن جسم چند برابر زمان پایین آمدن آن است؟

تمرین ۵: جسمی به جرم m روی سطح شیبداری که با افق زاویه‌ی α می‌سازد، با سرعت ثابت v₀ به طرف پایین می‌لغزد. اگر این جسم با همان سرعت اولیه‌ی v₀، مماس بر سطح به طرف بالا پرتاب شود، چه مدت طول می‌کشد تا روی سطح متوقف شود؟

تمرین ۶: جسمی به جرم ۴kg از پایین یک سطح شیبدار بدون اصطکاک که با سطح افق زاویه‌ی  می‌سازد، با سرعت اولیه‌ی  روی سطح به طرف بالا پرتاب می‌شود. اگر سرعت جسم پس از  به صفر برسد، بزرگی نیرویی که جسم به سطح وارد می‌کند، چند نیوتون است؟

تمرین ۷: جسمی به جرم m را روی سطح شیبداری به ضریب اصطکاک µs که با سطح افقی زاویه α  می سازد، قرار می دهیم و جسم روی سطح ساکن می ماند. در این حالت، بزرگی نیرویی که سطح به جسم وارد می کند، چند برابر وزن جسم است؟

تمرین ۸: در شکل روبرو، به جسمی به وزن ۲۵ نیوتون، نیروی افقی با بزرگی ۵۰ نیوتون وارد می شود و جسم با سرعت ثابت روی سطح شیبدار بالا می رود، بزرگی نیرویی که جسم به سطح شیبدار وارد می کند، چند نیوتون است؟

تمرین ۹: با توجه به اعداد شده در شکل روبرو، نیروی کشش نخ چند نیوتون است؟

تمرین ۱۰: اگر در شکل زیر زاویه α=۳۷ و دستگاه از حال سکون رها شود، سرعت هر وزنه پس از ۲ ثانیه چند m/s می‌شود؟ ضریب اصطکاک جنبشی جسم ها با سطح ۰٫۱ است.

حل تمرین های بررسی حرکت جسم روی سطح شیبدار: