نیروی گرانشی

وقتی جسمی را که در دست گرفته اید، رها می کنید، چرا روی زمین می افتد؟  طبق قانون اول نیوتون اجسام در حال سکون تا زمانی که نیرویی به آنها وارد نشود، ساکن می مانند. پس نیرویی به جسم وارد شده است که باعث حرکت جسم شده است. این نیرو، نیرویی است که زمین به جسم وارد نموده و جسم را جذب کرده است. هر جسمی در عالم، اجسام دیگر را به خود جذب می کند. به این جاذبه، نیروی گرانشی می گویند.

قانون گرانشی نیوتون

 اندازه نیروی گرانشی میان دو ذره، متناسب با جرم دو ذره است و با مجذور فاصله بین آنها، رابطه عکس دارد.

در این رابطه  G ثابت جهانی گرانش است و اندازه آن برابر است با:

نکته: اگر فاصله دو جسم از یکدیگر در برابر ابعاد دو جسم بسیار بزرگتر باشد، می توان دو جسم را ذره فرض کرد. در غیر اینصورت باید فاصله مرکز اجسام از یکدیگر را در نظر گرفت.

همه اجسام به هم نیرو وارد می کنند پس سیارات و اجرام آسمانی هم به هم نیرو وارد می کنند. مثلا زمین به ماه نیرو وارد می کند. مثل سنگی که از دست ما رها می شود و به زمین می افتد، ماه هم باید روی زمین بیفتد اما چرا نمی افتد؟ به علت سرعت حرکتی که دارد. به عبارت دیگر ماه در حال حرکت با سرعت معینی در فضا است. زمین به ماه نیرو وارد می کند و باعث تغییر بردار سرعت می شود. اگر اندازه نیروی گرانشی که زمین به ماه وارد می کند  به اندازه ای باشد که بتواند نیروی مرکزگرای ماه که با سرعت  v حرکت می کند را تامین کند، ماه به دور زمین حرکت دایره ای می کند. نیروی گرانشی زمین باعث حرکت دایره ای ماه دور زمین می شود. اگر این نیروی گرانشی نبود، ماه در فضا به صورت مستقیم حرکت می کرد.

البته از نظر تاریخی روند کشف نیروی جاذبه برعکس چیزی بود که در بالا گفته شد. یعنی اخترشناسان، رصدهای دقیقی از حرکت ماه و سیارات داشتند و متوجه شده بودند که آنها در مدار دایره ای در حال حرکت هستند. بعد نیوتون استدلال کرد که نیرویی که باعث حرکت دایره ای ماه به دور زمین می شود، همان نیرویی است که سیب را به سمت زمین جذب می کند. و قانون گرانش خود را اعلام نمود.

مثال۱:

جرم زمین و ماه به ترتیب حدود ۵٫۹۸×۱۰^۲۴ kg و ۷٫۳۶×۱۰^۲۲ kg  و فاصله متوسط آنها از یکدیگر حدود  3.84×۱۰^۸ m است. نیروی گرانشی را که زمین و ماه به یکدیگر وارد می کنند را بیابید.

پاسخ:

رابطه نیروی گرانشی بین دو جسم به صورت زیر است:

 این نیرو باعث چرخش ماه به دور زمین می شود.

مثال۲:

دو کره همگن به جرم های ۸۰kg و ۱۲۰ kg را در نظر بگیرید که فاصله مرکز آنها از یکدیگر ۱m است. نیروی گرانشیی را که این دو کره بر یکدیگر وارد می کنند محاسبه کنید.

پاسخ:

همانطور که این محاسبه نشان می دهد، نیروی گرانشی بین اجسام با جرم کوچک، بسیار کوچک و قابل چشم پوشی است. مقدار نیروی گرانشی در برابر ۳ نیروی دیگر در طبیعت (نیروی الکترومغناطیسی، نیروی هسته ای ضعیف، نیروی هسته ای قوی) بسیار کوچک تر است.

وزن و نیروی گرانشی

وزن یک جسم بر روی زمین برابر با نیروی گرانشی است که زمین بر جسم وارد می کند. اگر جرم زمین M_e و شعاع زمین R_e جرم جسم برابر با m باشد وزن جسم بر روی سطح زمین به صورت زیر است.

نیروی گرانشی که از طرف زمین به جسم دلخواه با جرم m وارد می شود به صورت زیر است. از طرفی طبق قانون دوم نیوتون داریم  F=ma ، پس می توان شتاب گرانشی زمین را از رابطه زیر بدست آورد.

اگر مقادیر را در این رابطه وارد کنیم، شتاب گرانشی در سطح زمین می شود.

شتاب گرانشی در سطح هر سیاره را می توان از رابطه زیر بدست آورد.

اگر به اندازه h از سطح یک سیاره دور شویم، شتاب گرانشی در آن مکان از رابطه زیر بدست می آید.

همچنین می توان شتاب گرانشی در ارتفاع h از سطح زمین را با نسبت زیر بدست آورد.

مثال۳:

ماهواره ها در اثر نیروی گرانشی بین زمین و ماهواره، روی مدار تقریبا دایره ای به دور زمین می چرخند. اگر جرم ماهواره ۲۰۰kg  و فاصله آن از سطح زمین ۲۶۰۰km باشد، کمیت های زیر را محاسبه کنید.

الف)نیروی گرانشی بین ماهواره و زمین

ب) تندی مداری ماهواره

پ)دوره گردش ماهواره

پاسخ:

الف) نیروی گرانشی بین زمین و ماهواره از رابطه زیر به دست می آید:

فاصله ماهواره از مرکز زمین برابر با فاصله از سطح زمین به علاوه شعاع زمین است بنابر این:

ب) ماهواره به دور زمین حرکت دایروی می کند بنابر این نیروی گرانشی زمین، نیروی مرکزگرای لازم را تامین می کند پس برای به دست آوردن سرعت ماهواره به صورت زیر عمل می کنیم:

ج) با داشتن سرعت چرخش ماهواره، میتوانیم دوره گردش ماهواره را بیابیم:

یعنی ماهواره هر ۲٫۳۶ ساعت یکبار به دور زمین می گردد.

بیشترین نیروی گرانشی وارد بر ماهواره در سطح زمین به آن وارد می شود. هر چه ماهواره از سطح زمین دورتر شود، نیروی گرانشی کاهش می یابد. می توان نمودار نیروی گرانشی وارد بر ماهواره بر حسب فاصله را به صورت زیر رسم کرد.

مدار همگام با زمین و ماهواره های مخابراتی (مناسب برای رشته ریاضی)

از دیدگاه مخابراتی، باقی ماندن ماهواره در یک محل نسبت به مکانی در روی زمین( مثلا بالای ایران) امتیاز محسوب می شود. این در صورتی رخ می دهد که دوره گردش ماهواره به دور زمین با مدت زمان یک دور چرخش زمین به دور خودش یعنی ۲۴h  یکسان باشد.

مثال ۴:

الف) در چه فاصله ای از زمین می توان این مدار همگام با زمین را یافت؟

ب) تندی مداری این ماهواره چقدر است؟

پاسخ:

میدانیم:

بنابر این:

ب) برای به دست آوردن سرعت به صورت زیر عمل می کنیم:

در قسمت الف سوال بالا به رابطه ی بین دوره تناوب و فاصله از مرکز زمین رسیدیم که به قانون سوم کپلر معروف است.

همچنین می توان تندی خطی ماهواره را با استفاده از دینامیک حرکت دایره ای به صورت زیر محاسبه کرد.

---

ویدیو آموزشی نیروی گرانشی

به ویدیو آموزشی این مبحث که توسط استاد مصطفی کبیری آماده شده است، توجه کنید.

مشاهده در یوتیوب | مشاهده در آپارات

---

در تمرین های زیر قسمت هایی که (مناسب برای رشته ریاضی) نوشته شده است، برای دانش آموزان رشته تجربی مناسب نیست. قسمت های تندی مداری و دوره تناوب ماهواره و مدار همگام با زمین در کتاب رشته تجربی نیست و از آن ها در امتحان نهایی و کنکور سوالی طرح نمی شود.

تمرین های نیروی گرانشی

تمرین ۱: تلسکوپ فضایی هابل با تندی ۷۵۶۰ m/s گرد زمین می چرخد.

الف)فاصله این تلسکوپ از سطح زمین چند کیلومتر است؟

ب)وزن این تلسکوپ در این ارتفاع چند برابر وزن آن در سطح زمین است؟

پ)دوره تناوب این تلسکوپ را پیدا کنید.(R_e=6380km) (مناسب برای رشته ریاضی)

تمرین ۲» سرعت ماهواره متناسب با ……. است. (مناسب برای رشته ریاضی)

۱)جذر عکس شعاع مدار

۲) جذر شعاع مدار

۳)جذر جرم ماهواره

۴)عکس مربع شعاع مدار

تمرین ۳: ماهواره ای در فاصله R_e از سطح زمین در یک مدار دایره ای به دور زمین می گردد. اگر R_e شعاع زمین و r  شعاع مدار ماهواره و g شتاب جاذبه در روی زمین باشد، دوره گردش ماهواره در SI کدام است؟ (مناسب برای رشته ریاضی)

تمرین ۴: فرض کنید سیاره ای باشد که شعاع آن نصف شعاع زمین و جرم آن  یک چهارم جرم کره زمین باشد. شتاب گرانش در سطح آن سیاره چند برابر شتاب گرانی در سطح کره زمین خواهد شد؟

تمرین ۵: جرم دو ماهواره A و Bبه ترتیب mو ۲m و به فاصله های R_e و ۲R_e از سطح زمین قرار دارند. سرعت خطی ماهواره A چند برابر سرعت خطی ماهواره  Bاست؟ (مناسب برای رشته ریاضی)

تمرین ۶: ماهواره های Aو B به دور زمین می چرخند. جرم ماهواره A،  جرم ماهواره  B است. اگر بزرگی تکانه دو ماهواره با هم برابر باشد، شعاع مدار ماهواره Bچند برابر شعاع مدار ماهواره A است؟ (مناسب برای رشته ریاضی)

تمرین ۷: جرم دو ماهواره Aو B با هم برابر است. اگر شعاع مدار ماهواره A دوبرابر شعاع مدار ماهواره  B باشد، انرژی آن چند برابر انرژی جنبشی ماهواره B است؟ (مناسب برای رشته ریاضی)

تمرین ۸: ماهواره ای به جرم m  در ارتفاع h از سطح زمین به دور آن می چرخد. اگر نیروی مرکزگرای ماهواره  وزن ماهواره در سطح زمین باشد، ارتفاع  h چند برابر شعاع زمین است؟

تمرین ۹: فاصله ماهواره  A از سطح زمین به اندازه شعاع زمین، و فاصله ماهواره B تا سطح زمین ۷ برابر شعاع زمین است. دوره گردش ماهواره  B چند برابر دوره گردش ماهواره  A است؟ (مناسب برای رشته ریاضی)

تمرین ۱۰: الف)شتاب گرانشی ناشی از خورشید در سطح زمین چقدر است؟

ب)شتاب گرانشی ناشی از ماه در سطح زمین چقدر است؟

تمرین ۱۱: الف)سفینه ای به جرم ۳٫۰۰×۱۰^۴kg در وسط فاصله بین زمین و ماه قرار دارد. نیروی گرانشی خالصی را که از طرف زمین و ماه به سفینه در این مکان وارد می شود به دست آورید.

ب)در چه فاصله ای از زمین، نیروی گرانشی ماه و زمین بر سفینه یکدیگر را خنثی می کنند؟

---

---