دسته‌ها
دینامیک دینامیک و حرکت دایره ای فیزیک پیش دانشگاهی فیزیک دوازدهم

نیروی گرانشی

وقتی جسمی را که در دست گرفته اید، رها می کنید، چرا روی زمین می افتد؟  طبق قانون اول نیوتون اجسام در حال سکون تا زمانی که نیرویی به آنها وارد نشود، ساکن می مانند. پس نیرویی به جسم وارد شده است که باعث حرکت جسم شده است. این نیرو، نیرویی است که زمین به جسم وارد نموده و جسم را جذب کرده است. هر جسمی در عالم، اجسام دیگر را به خود جذب می کند. به این جاذبه، نیروی گرانشی می گویند.

ph3 s2 gravitation 01 نیروی گرانشی

قانون گرانشی نیوتون

 اندازه نیروی گرانشی میان دو ذره، متناسب با جرم دو ذره است و با مجذور فاصله بین آنها، رابطه عکس دارد.

ph3 s2 gravitation 02 نیروی گرانشی

در این رابطه  G ثابت جهانی گرانش است و اندازه آن برابر است با:

ph3 s2 gravitation 03 نیروی گرانشی

نکته: اگر فاصله دو جسم از یکدیگر در برابر ابعاد دو جسم بسیار بزرگتر باشد، می توان دو جسم را ذره فرض کرد. در غیر اینصورت باید فاصله مرکز اجسام از یکدیگر را در نظر گرفت.

همه اجسام به هم نیرو وارد می کنند پس سیارات و اجرام آسمانی هم به هم نیرو وارد می کنند. مثلا زمین به ماه نیرو وارد می کند. مثل سنگی که از دست ما رها می شود و به زمین می افتد، ماه هم باید روی زمین بیفتد اما چرا نمی افتد؟ به علت سرعت حرکتی که دارد. به عبارت دیگر ماه در حال حرکت با سرعت معینی در فضا است. زمین به ماه نیرو وارد می کند و باعث تغییر بردار سرعت می شود. اگر اندازه نیروی گرانشی که زمین به ماه وارد می کند  به اندازه ای باشد که بتواند نیروی مرکزگرای ماه که با سرعت  v حرکت می کند را تامین کند، ماه به دور زمین حرکت دایره ای می کند. نیروی گرانشی زمین باعث حرکت دایره ای ماه دور زمین می شود. اگر این نیروی گرانشی نبود، ماه در فضا به صورت مستقیم حرکت می کرد.

ph3 s2 gravitation 04 نیروی گرانشی

البته از نظر تاریخی روند کشف نیروی جاذبه برعکس چیزی بود که در بالا گفته شد. یعنی اخترشناسان، رصدهای دقیقی از حرکت ماه و سیارات داشتند و متوجه شده بودند که آنها در مدار دایره ای در حال حرکت هستند. بعد نیوتون استدلال کرد که نیرویی که باعث حرکت دایره ای ماه به دور زمین می شود، همان نیرویی است که سیب را به سمت زمین جذب می کند. و قانون گرانش خود را اعلام نمود.

مثال۱:

جرم زمین و ماه به ترتیب حدود ۵٫۹۸×۱۰۲۴ kg و ۷٫۳۶×۱۰۲۲ kg  و فاصله متوسط آنها از یکدیگر حدود  3.84×۱۰۸ m است. نیروی گرانشی را که زمین و ماه به یکدیگر وارد می کنند را بیابید.

ph3 s2 gravitation 05 نیروی گرانشی

پاسخ:

رابطه نیروی گرانشی بین دو جسم به صورت زیر است:

ph3 s2 gravitation 06 نیروی گرانشی

 این نیرو باعث چرخش ماه به دور زمین می شود.

مثال۲:

دو کره همگن به جرم های ۸۰kg و ۱۲۰ kg را در نظر بگیرید که فاصله مرکز آنها از یکدیگر ۱m است. نیروی گرانشیی را که این دو کره بر یکدیگر وارد می کنند محاسبه کنید.

پاسخ:

ph3 s2 gravitation 07 نیروی گرانشی

همانطور که این محاسبه نشان می دهد، نیروی گرانشی بین اجسام با جرم کوچک، بسیار کوچک و قابل چشم پوشی است. مقدار نیروی گرانشی در برابر ۳ نیروی دیگر در طبیعت (نیروی الکترومغناطیسی، نیروی هسته ای ضعیف، نیروی هسته ای قوی) بسیار کوچک تر است.

وزن و نیروی گرانشی

وزن یک جسم بر روی زمین برابر با نیروی گرانشی است که زمین بر جسم وارد می کند. اگر جرم زمین Me و شعاع زمین Re جرم جسم برابر با m باشد وزن جسم بر روی سطح زمین به صورت زیر است.

ph3 s2 gravitation 08 نیروی گرانشی

نیروی گرانشی که از طرف زمین به جسم دلخواه با جرم m وارد می شود به صورت زیر است. از طرفی طبق قانون دوم نیوتون داریم  F=ma ، پس می توان شتاب گرانشی زمین را از رابطه زیر بدست آورد.

ph3 s2 gravitation 09 نیروی گرانشی

اگر مقادیر را در این رابطه وارد کنیم، شتاب گرانشی در سطح زمین می شود.

ph3 s2 gravitation 10 نیروی گرانشی

شتاب گرانشی در سطح هر سیاره را می توان از رابطه زیر بدست آورد.

ph3 s2 gravitation 11 نیروی گرانشی

اگر به اندازه h از سطح یک سیاره دور شویم، شتاب گرانشی در آن مکان از رابطه زیر بدست می آید.

ph3 s2 gravitation 12 نیروی گرانشی

همچنین می توان شتاب گرانشی در ارتفاع h از سطح زمین را با نسبت زیر بدست آورد.

ph3 s2 gravitation 13 نیروی گرانشی

مثال۳:

ماهواره ها در اثر نیروی گرانشی بین زمین و ماهواره، روی مدار تقریبا دایره ای به دور زمین می چرخند. اگر جرم ماهواره ۲۰۰kg  و فاصله آن از سطح زمین ۲۶۰۰km باشد، کمیت های زیر را محاسبه کنید.

ph3 s2 gravitation 14 نیروی گرانشی

الف)نیروی گرانشی بین ماهواره و زمین

ب) تندی مداری ماهواره

پ)دوره گردش ماهواره

ph3 s2 gravitation 15 نیروی گرانشی

پاسخ:

الف) نیروی گرانشی بین زمین و ماهواره از رابطه زیر به دست می آید:

ph3 s2 gravitation 16 نیروی گرانشی

فاصله ماهواره از مرکز زمین برابر با فاصله از سطح زمین به علاوه شعاع زمین است بنابر این:

ph3 s2 gravitation 17 نیروی گرانشی

ب) ماهواره به دور زمین حرکت دایروی می کند بنابر این نیروی گرانشی زمین، نیروی مرکزگرای لازم را تامین می کند پس برای به دست آوردن سرعت ماهواره به صورت زیر عمل می کنیم:

ph3 s2 gravitation 18 نیروی گرانشی

ج) با داشتن سرعت چرخش ماهواره، میتوانیم دوره گردش ماهواره را بیابیم:

ph3 s2 gravitation 19 نیروی گرانشی

یعنی ماهواره هر ۲٫۳۶ ساعت یکبار به دور زمین می گردد.

بیشترین نیروی گرانشی وارد بر ماهواره در سطح زمین به آن وارد می شود. هر چه ماهواره از سطح زمین دورتر شود، نیروی گرانشی کاهش می یابد. می توان نمودار نیروی گرانشی وارد بر ماهواره بر حسب فاصله را به صورت زیر رسم کرد.

ph3 s2 gravitation 26 نیروی گرانشی

مدار همگام با زمین و ماهواره های مخابراتی (مناسب برای رشته ریاضی)

از دیدگاه مخابراتی، باقی ماندن ماهواره در یک محل نسبت به مکانی در روی زمین( مثلا بالای ایران) امتیاز محسوب می شود. این در صورتی رخ می دهد که دوره گردش ماهواره به دور زمین با مدت زمان یک دور چرخش زمین به دور خودش یعنی ۲۴h  یکسان باشد.

ph3 s2 gravitation 20 نیروی گرانشی

مثال ۴:

الف) در چه فاصله ای از زمین می توان این مدار همگام با زمین را یافت؟

ب) تندی مداری این ماهواره چقدر است؟

پاسخ:

میدانیم:

ph3 s2 gravitation 21 نیروی گرانشی

بنابر این:

ph3 s2 gravitation 22 نیروی گرانشی

ب) برای به دست آوردن سرعت به صورت زیر عمل می کنیم:

ph3 s2 gravitation 23 نیروی گرانشی

در قسمت الف سوال بالا به رابطه ی بین دوره تناوب و فاصله از مرکز زمین رسیدیم که به قانون سوم کپلر معروف است.

ph3 s2 gravitation 24 نیروی گرانشی

همچنین می توان تندی خطی ماهواره را با استفاده از دینامیک حرکت دایره ای به صورت زیر محاسبه کرد.

ph3 s2 gravitation 25 نیروی گرانشی

ویدیو آموزشی نیروی گرانشی

به ویدیو آموزشی این مبحث که توسط استاد مصطفی کبیری آماده شده است، توجه کنید.


در تمرین های زیر قسمت هایی که (مناسب برای رشته ریاضی) نوشته شده است، برای دانش آموزان رشته تجربی مناسب نیست. قسمت های تندی مداری و دوره تناوب ماهواره و مدار همگام با زمین در کتاب رشته تجربی نیست و از آن ها در امتحان نهایی و کنکور سوالی طرح نمی شود.

تمرین های نیروی گرانشی

تمرین ۱: تلسکوپ فضایی هابل با تندی ۷۵۶۰ m/s گرد زمین می چرخد.

الف)فاصله این تلسکوپ از سطح زمین چند کیلومتر است؟

ب)وزن این تلسکوپ در این ارتفاع چند برابر وزن آن در سطح زمین است؟

پ)دوره تناوب این تلسکوپ را پیدا کنید.(Re=6380km) (مناسب برای رشته ریاضی)

تمرین ۲» سرعت ماهواره متناسب با ……. است. (مناسب برای رشته ریاضی)

۱)جذر عکس شعاع مدار

۲) جذر شعاع مدار

۳)جذر جرم ماهواره

۴)عکس مربع شعاع مدار

تمرین ۳: ماهواره ای در فاصله Re از سطح زمین در یک مدار دایره ای به دور زمین می گردد. اگر Re شعاع زمین و r  شعاع مدار ماهواره و g شتاب جاذبه در روی زمین باشد، دوره گردش ماهواره در SI کدام است؟ (مناسب برای رشته ریاضی)

تمرین ۴: فرض کنید سیاره ای باشد که شعاع آن نصف شعاع زمین و جرم آن  یک چهارم جرم کره زمین باشد. شتاب گرانش در سطح آن سیاره چند برابر شتاب گرانی در سطح کره زمین خواهد شد؟

تمرین ۵: جرم دو ماهواره A و Bبه ترتیب mو ۲m و به فاصله های Re و ۲Re از سطح زمین قرار دارند. سرعت خطی ماهواره A چند برابر سرعت خطی ماهواره  Bاست؟ (مناسب برای رشته ریاضی)

تمرین ۶: ماهواره های Aو B به دور زمین می چرخند. جرم ماهواره A،  جرم ماهواره  B است. اگر بزرگی تکانه دو ماهواره با هم برابر باشد، شعاع مدار ماهواره Bچند برابر شعاع مدار ماهواره A است؟ (مناسب برای رشته ریاضی)

تمرین ۷: جرم دو ماهواره Aو B با هم برابر است. اگر شعاع مدار ماهواره A دوبرابر شعاع مدار ماهواره  B باشد، انرژی آن چند برابر انرژی جنبشی ماهواره B است؟ (مناسب برای رشته ریاضی)

تمرین ۸: ماهواره ای به جرم m  در ارتفاع h از سطح زمین به دور آن می چرخد. اگر نیروی مرکزگرای ماهواره  وزن ماهواره در سطح زمین باشد، ارتفاع  h چند برابر شعاع زمین است؟

تمرین ۹: فاصله ماهواره  A از سطح زمین به اندازه شعاع زمین، و فاصله ماهواره B تا سطح زمین ۷ برابر شعاع زمین است. دوره گردش ماهواره  B چند برابر دوره گردش ماهواره  A است؟ (مناسب برای رشته ریاضی)

تمرین ۱۰: الف)شتاب گرانشی ناشی از خورشید در سطح زمین چقدر است؟

ب)شتاب گرانشی ناشی از ماه در سطح زمین چقدر است؟

تمرین ۱۱: الف)سفینه ای به جرم ۳٫۰۰×۱۰۴kg در وسط فاصله بین زمین و ماه قرار دارد. نیروی گرانشی خالصی را که از طرف زمین و ماه به سفینه در این مکان وارد می شود به دست آورید.

ب)در چه فاصله ای از زمین، نیروی گرانشی ماه و زمین بر سفینه یکدیگر را خنثی می کنند؟


دانلود نسخه PDF جزوه بالا و پاسخ تمرین ها



کبیری

از کبیری

مصطفی کبیری کناری متولد سال ۱۳۶۷ در شهرستان فریدونکنار (استان مازندران) ، دبیر فیزیک دبیرستان های شهرستان کلاردشت با سوابق تحصیلی کارشناسی رشته دبیری فیزیک در دانشگاه مازندران و کارشناسی ارشد فیزیک حالت جامد در دانشگاه تربیت مدرس تهران (نا تمام) هستم . هدف از ایجاد این سایت برای من ، ایجاد یک محیطی آموزشی کارآمد است که در آن دانش آموزان بتوانند فیزیک را به صورت پایه ای و مفهومی بیاموزند .

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *