دسته‌ها
الکتریسیته ساکن الکتریسیته ساکن اندازه گیری فیزیک دوم دبیرستان فیزیک سوم دبیرستان فیزیک یازدهم

بردارهای یکه

بردارهای یکه دقیقاٌ در جواب سوال ؛بیمارستان کجاست؟؛نهفته است. اگر در جواب بشنوید که «۵۰۰ متر برو»، به طور یقین با خود تصور می‌کنید که یا فرد پاسخ‌دهنده سوال شما را متوجه نشده است یا علاقه‌ای به دادن پاسخ صحیح به سوال شما ندارد. چه چیز در این جواب برای شما عجیب است؟ جهت! در سوالی که شما پرسیده‌اید، باید بدانید نیاز است در کدام جهت حرکت کنید. این همان چیزی است که در فرمول‌نویسی ریاضیات و فیزیک برای تعریف کمیت‌های برداری استفاده ‌می‌شود و توسط بردارهای یکه مشخص می‌شوند. در این مطلب به بررسی جمع برداری با استفاده از بردارهای یکه در دو بعد می پردازیم.

برای یادگیری بهتر مساله های قانون کولن و میدان الکتریکی از فصل الکتریسیته ساکن، نیاز داریم تا این قسمت را به خوبی یاد بگیریم.

بردارهای یکه

بردار یکه در راستای هر محور ، برداری است به طول ۱ واحد و در جهت همان محور .

ph11 s1 bordaryekke 01 بردارهای یکه

در شکل زیر بردار A را می توان به صورت زیر بر حسب بردارهای یکه نوشت .

ph11 s1 bordaryekke 02 بردارهای یکه

و برای بدست آوردن مولفه های بردار A به صورت زیر از مثلثات اسفاده می کنیم.

ph11 s1 bordaryekke 03 بردارهای یکه

برای بدست آوردن بزرگی بردار A از رابطه زیر استفاده می کنیم .

ph11 s1 bordaryekke 04 بردارهای یکه

و برای بدست آوردن زاویه بین بردار A و جهت مثبت محور X از رابطه زیر استفاده می کنیم .

ph11 s1 bordaryekke 05 بردارهای یکه

جمع برداری

اگر دو بردار A و B مطابق شکل زیر موجود باشند.

ph11 s1 bordaryekke 08 بردارهای یکه

برآیند یا جمع این دو بردار  C از رابطه زیر بدست می آید .

ph11 s1 bordaryekke 06 بردارهای یکه

مثال ها

مثال ۱: دو بردار A و B در دستگاه مختصات زیر موجود هستند. مساحت هر مربع یک واحد است.اگر جمع دو بردار C باشد، بردار C را بر حسب بردارهای یکه بنویسید.

ph11 s1 bordaryekke 09 بردارهای یکه

پاسخ مثال ۱: ابتدا دو بردار A و B را بر حسب بردارهای یکه به صورت زیر می نویسیم. و پس از آن مولفه های i را با هم و مولفه های j را با هم جمع می کنیم.

ph11 s1 bordaryekke 07 بردارهای یکه

یعنی  بردار C در جهت محور y  است و بزرگی آن ۷ واحد است.

نکته: در صورتی که بردار فقط یک مولفه داشته باشد، بزرگی بردار برابر مقدار همان مولفه است.

مثال ۲: دو بردار a=4i+bj و  b=ai+3j مفروض است. اگر برایند این دو بردار با محور x  زاویه ۳۷ درجه بسازد، نسبت a/b را حساب کنید.

پاسخ مثال ۲:

ph11 s1 bordaryekke 10 بردارهای یکه

مثال ۳: در شکل زیر بزرگی بردار برایند C=A+B را بدست آورید.

ph11 s1 bordaryekke 11 بردارهای یکه

پاسخ مثال ۳: مولفه های بردار ها را مطابق شکل زیر رسم می کنیم.

ph11 s1 bordaryekke 12 بردارهای یکه

نکته: در صورتی دو بردار A و B بر هم عمودند که رابطه ی زیر برقرار باشد .

ph11 s1 bordaryekke 13 بردارهای یکه

مثال ۴: دو بردار  A=3i+6j و B=ai+bj   بر هم عمود هستند و برایند آن ها با محور مثبت x زاویه ۴۵ درجه می سازد. a و b را حساب کنید.

پاسخ مثال ۴: طبق نکته فوق خواهیم داشت.

ph11 s1 bordaryekke 14 بردارهای یکه

مثال ۵: دو بردار  A=8i+6j و B=-6i+8j   موجود هستند.

الف) اندازه هر یک از بردارها را حساب کنید.

ب) بزرگی برایند دو بردار را حساب کنید.

پ) زاویه بین دو بردار را حساب کنید.

پاسخ مثال ۵: الف) بزرگی هر بردار را حساب می کنیم.

ph11 s1 bordaryekke 15 بردارهای یکه

ب) ابتدا جمع دو بردار و سپس بزرگی آن را حساب می کنیم.

ph11 s1 bordaryekke 16 بردارهای یکه

پ) زاویه بردار A و B را با محور مثبت y  بدست می آوریم.برای اینکار مولفه x را تقسیم بر مولفه y می کنیم.

ph11 s1 bordaryekke 17 بردارهای یکه

یعنی زاویه  a در سمت راست محور  y و زاویه   bدر سمت چپ محور  y است. پس زاویه بین دو بردار جمع این دو زاویه یعنی ۹۰ درجه می شود.

نکات

نکته: همانطوری که در مثال ۵ مشاهده کردید اگر دو بردار هم اندازه F با هم زاویه ۹۰ بسازند ، بزرگی برایند آن ها به صورت زیر بدست می آید.

ph11 s1 bordaryekke 18 بردارهای یکه

نکته : اگر دو بردار هم اندازه F  با هم زاویه a بسازند بزرگی برایند آن ها را می توان از رابطه زیر حساب کرد.

ph11 s1 bordaryekke 19 بردارهای یکه

این نکته ها به شما کمک خواهد کرد تا با سرعت بالاتری بتوانید مسئله ها را حل کنید.


دانلود نسخه PDF جزوه بردارهای یکه




از کبیری

مصطفی کبیری کناری متولد سال ۱۳۶۷ در شهرستان فریدونکنار (استان مازندران) ، دبیر فیزیک دبیرستان های شهرستان کلاردشت با سوابق تحصیلی کارشناسی رشته دبیری فیزیک در دانشگاه مازندران و کارشناسی ارشد فیزیک حالت جامد در دانشگاه تربیت مدرس تهران (نا تمام) هستم . هدف از ایجاد این سایت برای من ، ایجاد یک محیطی آموزشی کارآمد است که در آن دانش آموزان بتوانند فیزیک را به صورت پایه ای و مفهومی بیاموزند .

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.