بردارهای یکه دقیقاٌ در جواب سوال ؛بیمارستان کجاست؟؛نهفته است. اگر در جواب بشنوید که «۵۰۰ متر برو»، به طور یقین با خود تصور می‌کنید که یا فرد پاسخ‌دهنده سوال شما را متوجه نشده است یا علاقه‌ای به دادن پاسخ صحیح به سوال شما ندارد. چه چیز در این جواب برای شما عجیب است؟ جهت! در سوالی که شما پرسیده‌اید، باید بدانید نیاز است در کدام جهت حرکت کنید. این همان چیزی است که در فرمول‌نویسی ریاضیات و فیزیک برای تعریف کمیت‌های برداری استفاده می‌شود و توسط بردارهای یکه مشخص می‌شوند. در این مطلب به بررسی جمع برداری با استفاده از بردارهای یکه در دو بعد می پردازیم.
برای یادگیری بهتر مساله های قانون کولن و میدان الکتریکی از فصل الکتریسیته ساکن، نیاز داریم تا این قسمت را به خوبی یاد بگیریم.
بردارهای یکه
بردار یکه در راستای هر محور ، برداری است به طول ۱ واحد و در جهت همان محور .
در شکل زیر بردار A را می توان به صورت زیر بر حسب بردارهای یکه نوشت .
و برای بدست آوردن مولفه های بردار A به صورت زیر از مثلثات اسفاده می کنیم.
برای بدست آوردن بزرگی بردار A از رابطه زیر استفاده می کنیم .
و برای بدست آوردن زاویه بین بردار A و جهت مثبت محور X از رابطه زیر استفاده می کنیم .
جمع برداری
اگر دو بردار A و B مطابق شکل زیر موجود باشند.
برآیند یا جمع این دو بردار C از رابطه زیر بدست می آید .
مثال ها
مثال ۱: دو بردار A و B در دستگاه مختصات زیر موجود هستند. مساحت هر مربع یک واحد است.اگر جمع دو بردار C باشد، بردار C را بر حسب بردارهای یکه بنویسید.
پاسخ مثال ۱: ابتدا دو بردار A و B را بر حسب بردارهای یکه به صورت زیر می نویسیم. و پس از آن مولفه های i را با هم و مولفه های j را با هم جمع می کنیم.
یعنی بردار C در جهت محور y است و بزرگی آن ۷ واحد است.
نکته: در صورتی که بردار فقط یک مولفه داشته باشد، بزرگی بردار برابر مقدار همان مولفه است.
مثال ۲: دو بردار a=4i+bj و b=ai+3j مفروض است. اگر برایند این دو بردار با محور x زاویه ۳۷ درجه بسازد، نسبت a/b را حساب کنید.
پاسخ مثال ۲:
مثال ۳: در شکل زیر بزرگی بردار برایند C=A+B را بدست آورید.
پاسخ مثال ۳: مولفه های بردار ها را مطابق شکل زیر رسم می کنیم.
نکته: در صورتی دو بردار A و B بر هم عمودند که رابطه ی زیر برقرار باشد .
مثال ۴: دو بردار A=3i+6j و B=ai+bj بر هم عمود هستند و برایند آن ها با محور مثبت x زاویه ۴۵ درجه می سازد. a و b را حساب کنید.
پاسخ مثال ۴: طبق نکته فوق خواهیم داشت.
مثال ۵: دو بردار A=8i+6j و B=-6i+8j موجود هستند.
الف) اندازه هر یک از بردارها را حساب کنید.
ب) بزرگی برایند دو بردار را حساب کنید.
پ) زاویه بین دو بردار را حساب کنید.
پاسخ مثال ۵: الف) بزرگی هر بردار را حساب می کنیم.
ب) ابتدا جمع دو بردار و سپس بزرگی آن را حساب می کنیم.
پ) زاویه بردار A و B را با محور مثبت y بدست می آوریم.برای اینکار مولفه x را تقسیم بر مولفه y می کنیم.
یعنی زاویه a در سمت راست محور y و زاویه bدر سمت چپ محور y است. پس زاویه بین دو بردار جمع این دو زاویه یعنی ۹۰ درجه می شود.
نکات
نکته: همانطوری که در مثال ۵ مشاهده کردید اگر دو بردار هم اندازه F با هم زاویه ۹۰ بسازند ، بزرگی برایند آن ها به صورت زیر بدست می آید.
نکته : اگر دو بردار هم اندازه F با هم زاویه a بسازند بزرگی برایند آن ها را می توان از رابطه زیر حساب کرد.
این نکته ها به شما کمک خواهد کرد تا با سرعت بالاتری بتوانید مسئله ها را حل کنید.
دانلود نسخه PDF جزوه بردارهای یکه
