حرکت دایره ای یکنواخت

پیش تر درباره حرکت روی خط راست مطالبی یاد گرفتیم از جمله محاسبه شتاب و نیرو. حال اگر جسمی داشته باشیم که در مسیر دایروی یا منحنی حرکت کند، چه می کنیم؟ می توانیم منحنی را بخشی از دایره با شعاع انحنای خاص در نظر بگیریم. و به این حرکت، حرکت دایره ای می گوییم.

فرص کنید جسمی با تندی ثابت روی یک مسیر دایره ای حرکت می کند. میدانیم هرگونه تغییر در بردار سرعت نیاز به وارد کردن نیرو دارد. این تغییر می تواند در اندازه یا جهت بردار سرعت باشد. بنابر این اگر بخواهیم کاری کنیم تا جسم را وادار به حرکت در مسیر دایره ای کنیم، باید به آن نیرو وارد کنیم تا جهت سرعت مدام تغییر کند و مماس بر دایره بماند مانند تصویر زیر:

حرکت دایره ای یکنواخت

اگر حرکت متحرک در مسیر دایره ای باشد و تندی متحرک همواره یکسان باشد، به آن حرکت دایره ای یکنواخت گوییم.

چرا در حرکت دایره ای یکنواخت، ذره در بازه های زمانی برابر، مسافت یکسانی را طی می کند؟

چون اندازه سرعت ذره ثابت است. میدانیم:

چون سرعت ثابت است، ذره در بازه های زمانی برابر مسافت یکسانی طی می کند.

در حرکت دایره ای یکنواخت، به مدت زمانی که طول می کشد تا ذره ، یک بار محیط دایره که برابر با ۲πr میباشد، را طی کند، دوره می گویند و با T نمایش می دهند. بنابر این:

 مثال ۱:

دوره عقربه ثانیه شمار، دقیقه شمار و ساعت شمار یک ساعت عقربه ای چیست؟

پاسخ:

زمان لازم برای اینکه عقربه ثانیه شمار یک دور کامل را طی کند، ۶۰ ثانیه است.

دوره عقربه دقیقه شمار،یک ساعت یعنی ۳۶۰۰ ثانیه است.

دوره عقربه ساعت شمار، ۱۲ ساعت یعنی ۴۳۲۰۰ ثانیه است.

مثال ۲:

میل لنگ یک خودرو که قطر محور آن ۴cm است. در هر دقیقه ۲۴۰۰ دور می چرخد. (۲۴۰۰rpm) تندی نقطه ای روی لبه محور این میل لنگ چقدر است؟

یکای rpm یعنی تعداد دور در دقیقه.

پاسخ:

ابتدا زمان یک دور، یعنی دوره تناوب آن را محاسبه می کنیم:

مثال۳:

پره یک بالگرد با دوره ۰٫۰۲s به طور یکنواخت می چرخد. الف)تعداد دور بر دقیقه (rpm) پره بالگرد چقدر است؟ ب) اگر شعاع پره ۲m باشد، نوک پره با چه تندی ای می چرخد؟

پاسخ:

زمان یک دور چرخش،  T است بنابر این:

ب)رابطه سرعت و دوره تناوب به صورت زیر است:

مثال ۴:

یک دیسک گردان در شهربازی را در نظر بگیرید که توسط یک موتور الکتریکی در هر دقیقه ۵ دور می چرخد. فرض کنید افرادی در فاصله های ۱m ، ۲m و ۳m از مرکز آن قرار دارند. تندی این افراد را بدست آورید.

پاسخ:

ابتدا باید دوره حرکت را به دست بیاوریم:

برای محاسبه تندی از رابطه زیر استفاده می کنیم:

درنتیجه هرچه از مرکز دیسک دور شویم، در صورتی که دوره حرکت برای همه افراد یکسان است، تندی حرکت بیشتر می شود.

مثال ۵:

مسافتی را که هر یک از افراد در مثال بالا در مدت ۳s طی کرده اند، محاسبه کنید.

پاسخ:

شتاب مرکزگرا و قانون دوم نیوتون در حرکت دایره ای یکنواخت

در حرکت دایره ای یکنواخت اندازه سرعت همواره یکسان است. اما جهت آن تغییر می کند. این یعنی حرکت شتابدار است. جهت این شتاب به سمت مرکز دایره است. اما برای به دست آوردن اندازه و جهت شتاب مرکزگرا، چگونه عمل می کنیم.

میدانیم:

قسمتی از دایره مطابق شکل زیر (الف) در نظر بگیرید. فرض کنید زاویه بین بردار  v₁ و v₂ برابر با 𝜽 است. بنابر این:

چون v₁ و v₂ برابرند، اندازه Δv از رابطه زیر بدست می آید.

بنابر این شتاب برابر است با:

میدانیم که ذره محیط دایره که برابر با زاویه ۲π است را در زمان T طی می کند بنابر این:

بنابر این با جایگذاری در روابط بالا  اندازه شتاب به دست می آید:

بر اساس تعریف شتاب متوسط، جهت شتاب متوسط در جهت بردار تغییر سرعت است. همانطوری که در شکل ب و پ بالا مشاهده می کنید، جهت بردار Δv به سمت مرکز دایره است. بنابراین جهت این شتاب همواره به سمت مرکز دایره است. از اینرو به آن شتاب مرکز گرا گویند.

در حرکت دایره ای یکنواخت، رابطه شتاب مرکز گرا و دوره حرکت را می توان به صورت زیر حساب کرد.

مثال ۶:

خودرویی در یک میدان به شعاع  100m با تندی  36km/h در حال دور زدن است. دوره و شتاب مرکزگرای خودرو را محاسبه کنید.

پاسخ:

ابتدا سرعت را از کیلومتر بر ساعت به واحد SI یعنی متر بر ثانیه، تبدیل می کنیم.

مثال ۷:

شکل روبرو مسیر حرکت سورتمه ای را در مسابقه المپیک زمستانی نشان می دهد. سورتمه روی یک سطح افقی در حال حرکت است. اگر تندی حرکت سورتمه در کل مسیر ۳۴m/s باشد، شتاب مرکزگرای آن را در هر یک از پیچ ها به دست آورید.

پاسخ:

نیروی مرکز گرا

می دانیم برای ایجاد شتاب، نیاز به وارد کردن نیرو است. بنابر این برای اینکه شتاب مرکزگرا داشته باشیم، باید نیرویی به سمت مرکز به جسم وارد شود. به نیرویی که باعث حرکت دایره ای می شود، نیروی مرکزگرا می گویند. نیروی  مرکز گرا نیروی جدیدی نیست و نیروهای مختلف مثلا نیروی الکتریکی، گرانشی، کشش طناب و… می توانند این نیرو را تامین کنند. به عنوان مثال وقتی جسم متصل به نخ را روی سطح افقی بدون اصطکاکی می چرخانیم، متوجه می شویم که باید نخ را بکشیم. این نیروی کشش طناب، نیروی مرکزگرای جسم برای حرکت دایره ای را تامین می کند. یا نیروی گرانش، نیروی مرکزگرای لازم برای چرخش ماه به دور زمین را تامین می کند. و یا الکترونها در مدل اتمی بور، توسط نیروی الکتریکی، وادار به حرکت دایره ای می شوند. اندازه نیروی مرکز گرا به صورت زیر است:

جهت این نیرو به سمت مرکز دایره است. دقت کنید F_net (نیروی مرکزگرا) برایند نیروهای در راستای شعاع دایره است.

مثال ۸:

پدری فرزند ۲۰ کیلوگرمی خود را در یک چهارچرخه ایمن ۵ کیلوگرمی قرار می دهد و با یک طناب ۲ متری، چهارچرخه را روی سطح افقی زمین به گونه ای می کشد تا چهارچرخه روی دایره ای حرکت کند. با فرض یکنواخت بودن حرکت چهارچرخه و صرف نظر کردن از اصطکاک و با فرض اینکه نیروی کشش طناب ۱۰۰N  باشد، تندی و دوره چهارچرخه را بیابید.

پاسخ: تنها نیروی در راستای شعاع، نیروی کشش نخ است بنابراین داریم:

مثال ۹:

خودرویی به جرم ۱۵۰۰kg را در نظر بگیرید که می خواهد در یک پیج مسطح افقی به شعاع ۵۰m بدون آنکه بلغزد، دور بزند. اگر ضریب اصطکاک ایستایی بین لاستیک و سطح جاده  1.0باشد، حداکثر تندی خودرو چقدر می تواند باشد؟

ماشین در جاده که به صورت کمانی از دایره است، حرکت می کند. نیروی وزن، نیروی عمودی تکیه گاه و نیروی اصطکاک بر خوردرو وارد می شود. تنها نیروی در راستای شعاع که مانع لغزش خودرو می شود، نیروی اصطکاک ایستایی است.

خودرو با سرعت v در حال حرکت است. برای اینکه این حرکت در مسیر دایره ای باشد، باید نیرویی  به سمت مرکز دایره به جسم وارد شود تا این خودرو بتواند در مسیر دایره ای حرکت کند. این نیروی مرکزگرا را نیروی اصطکاک ایستایی بین سطح و اتومبیل تامین می کند. اگر نیروی مرکزگرا از بیشینه نیروی اصطکاک ایستایی بیشتر باشد، نیروی مرکز گرا دیگر نمی تواند جسم را در مسیر دایره ای حفظ کند و جسم در مسیر مستقیم حرکت می کند. چون حداکثر تندی را می خواهیم از نیروی اصطکاک ایستایی بیشینه استفاده می کنیم.

---

ویدیو آموزشی حرکت دایره ای یکنواخت

ویدیو آموزشی زیر را از این مبحث که توسط استاد مصطفی کبیری آماده شده است، حتما مشاهده کنید.

مشاهده در یوتیوب | مشاهده در آپارات

---

تمرین ها

تمرین ۱: اگر در یک حرکت دایره ای یکنواخت، شعاع انحنای مسیر و سرعت خطی متحرک ۲ برابر شود، نیروی مرکزگرا چندبرابر می شود؟

تمرین ۲: شخصی به جرم ۵۰ kg روی صندلی یک چرخ و فلک که به طور یکنواخت می چرخد، نشسته و با سرعت  2m/s روی یک مسیر دایره ای به شعاع ۱۰ متر حرکت می کند. بزرگی نیرویی که این شخص در بالاترین نقطه مسیر بر صندلی خود وارد می کند، چند نیوتون است؟

تمرین ۳: در حرکت وضعی زمین به دور محور خود، سرعت خطی نقطه ای در مدار جغرافیایی ۶۰ درجه شمالی چندبرابر سرعت خطی نقطه ای واقع در مدار جغرافیایی ۳۰ درجه شمالی است؟

تمرین ۴: خودرویی به جرم ۳ تن در سطح افقی، مسیر دایره ای را به صورت یکنواخت طی می کند. اگر بزرگی نیرویی که از طرف سطح زمین بر خودرو وارد می شود، ۱۰^۹/۲  نیوتون باشد، نیروی مرکزگرای وارد بر خودرو چند نیوتون است؟

تمرین ۵: یک صفحه افقی حول یک محور قائم دوران می کند و در هر دقیقه ۶ دور کامل می چرخد. مکعبی به جرم ۵kg روی این صفحه و در فاصله ۲ متری از محور دوران قرار دارد و بدون لغزش با صفحه می چرخد. نیروی اصطکاکی که بر مکعب وارد می شود، چند نیوتون است؟

---

---